ビジネスの世界から自然現象まで，この世界には至るところに「べき乗則」が潜んでいる。
「べき乗則」にしたがう分布をもつデータ群では，「ロングテール」と呼ばれる特徴的な分布が見られる。
ビジネスの世界では，この「ロングテール」に対する施策が重要といわれるが，自分のブログへのアクセスはどうなっているのだろうか。
そこで今回の記事では，本ブログにおけるアクセスデータを解析し，どのような分布になっているのかを可視化してみた。
まえがき：パレートの法則とロングテール
実際の解析結果に入る前に，そもそものきっかけとなった「パレートの法則」と「ロングテール」について簡単に説明する。
ビジネスの世界においては，「2割のファンが製品やサービスの売上の8割を占める」法則が成り立つ。この法則は，超有名な「80:20の法則＝パレートの法則」と呼ばれるものだ。
本法則が成立する製品・サービス群は，「2割の売れ筋品」と「8割のそのほかの品」に分けられる。このうち，8割の方は，売上 – 商品数を軸にとった2次元プロットにおいて，恐竜のしっぽのように長く延びていることから「ロングテール」と呼ばれている。ロングテールでは，製品あたりの売上数は少ないものの，コアなファンが買ってくれる。
Amazonなんかは，このロングテールを徹底して充実させる（ニッチな商品をキッチリそろえる）ことで，売上を増やしていることで有名だ。ビジネスにおいてファンを増やすためには，このロングテールも意外と侮れないわけだ。
ブログのアクセス分布をプロットすると…
自分のブログのアクセス数を増やそうとすれば，このロングテールへの施策が大事なことはわかった。
でも，そもそも，自分のブログのアクセス数分布がどうなっているのか，今まで見たことがなかった。
そこで，ブログの各ページ（ランディングページ：LP）に対するアクセス数を，一定期間で収集して，2次元プロットから解析してみた。
解析対象とした期間と解析ツール
解析対象とする期間は，過去3年における同時期の1カ月を対象とした。具体的には，以下の通り。
- 2020年2月4日～2020年3月4日
- 2021年2月4日～2021年3月4日
- 2022年2月4日～2022年3月4日
アクセス解析には，いつも通り「Google Analytics」を用いた。
（各ページに対するセッションが表示される画面において，表示行数を増やして，上記期間のデータをエクセルファイルとしてエクスポートした。）
アクセス数とLP数のプロット
さっそく，アクセス数分布の結果を示す。
べき乗分布とパレート則の成立！
まずは，「1. 2020年の2月4日から3月4日」のアクセス分布を，以下の図に示す。縦軸はセッション（PV）数，横軸はランディングページ（LP）の総数だ。
（※ランディングページとは，ユーザーがブログを訪問して，着地（ランディング）したページのこと。）
上図からわかるように，同期間のアクセス分布は「べき乗分布」となっていることがわかった。同図の横軸：LP＝100（すなわち，LP総数の約2割）を超えたあたりから，500以上にかけて，美しい「ロングテール」が見られる。この「ロングテール」は，LP総数の8割を占めていることから，本ブログへの訪問数にも「パレートの法則」がしっかりと当てはまることがわかる。
また，同図中には，破線にて，各プロットの最小2乗近似（べき近似）曲線を示している。R = 0.93程度なので，まずまず良い近似に見える。
ただし，これは縦横軸がいずれも線形なので，ロングテールの部分の近似精度は読み取られない（両対数プロットによる議論は，すべての期間（2020-2022）について紹介したのち，取り上げる）。
他の期間でも同様の分布に
次に，2021年，2022年の同期間におけるアクセス数分布を，それぞれ以下に示す。
こちらも，「べき乗分布」になっており，近似曲線の精度も2020年のプロットと同程度となっている。
両対数プロットによる議論
ここまでで，アクセス数分布が，だいたいべき乗則に沿っていることがわかった。ただ，セッション数の多いページと，ロングテールの部分との差が大きすぎて，ロングテールの部分の細かい傾向が見られなかった。
そこで，本節では，両対数プロット（※）での議論を試みる。
※両対数プロット：縦軸ｙ，横軸ｘを，それぞれlog y，log xとしてデータをプロットしたもの。値の小さい範囲をスケールアップして見られる。両対数プロットにおいて，べき乗分布をもつデータは，直線となる。
「完全」な「べき乗分布」ではなかった！
以下に，両対数軸に対して，セッション数 – LP総数をプロットした図を示す。
期間１～３毎の傾向の違いを見ようと思ってプロットしたら・・・あれ，線形軸でべき乗分布に見えたデータたちが，両対数プロットで直線に並ばないではないか。
Fig. 4には，破線で，べき乗近似曲線を示している（近似曲線の式は，先ほどのFig.1 – 3とは縦軸のスケールが異なるため，若干違っているが，ざっくりとした傾向は同じだ）。
※ Fig. 1-3とは異なり，式変形がなされていない。上図において，Fig. 1-3のように\(y=Ax^{-b}\)のような関数形に式変形する方法は以下の通り。
$$
\begin{align*}
&\ln y = – b \ln x + A\\
&\ln y = – \ln x^b + A\\
&\ln y + \ln x^b = A\\
&\ln y \cdot x^b = A\\
&y \cdot x^b = e^A\\
&y = e^A x^{-b}
\end{align*}$$
「完全な」べき乗分布であれば，破線のような直線となる。しかし，データのプロットを見ると，この破線には沿っていないように見える。だいたい，LP総数が100から150のあたりに，変曲点が生じ，落ち込みが急速になっているように見える。
Fig. 4を見る限り，べき乗分布というよりは指数分布に近い（実際，近似曲線を引っ張ってみると，指数近似の方が綺麗にデータに沿っていた）。
R =0.92くらいになっているのは，おそらくこの「アクセス数が10未満＝LP総数が100-150」における急峻な低下によるものと思われる。
LP > 150ではべき乗分布に
そこで，べき乗分布から外れていそうな，アクセス数の少ないLPのデータを除外して，再プロットしてみた。具体的には，セッション数TOP150をプロットし，近似曲線を引っ張ってみた。
以下の図が，その結果を示している（先ほどとは縦軸の範囲が異なることに注意）。LP150位までとすることで，セッション数が50未満のページは除外された。これによって，プロットがほとんど直線に並んだ！
同図に破線で示している近似曲線も，R>0.98以上となっており，良好な近似となっている。
以上の解析から，本ブログのアクセス分布は，
「セッション数が50以上のページの分布は『べき乗分布』となっているが，セッション数が50未満のページをも含めた分布は，『べき乗分布』から外れ，『指数分布』に近づいている」
ような分布となっていることがわかった。
＊
Fig. 4や5のようなプロットを，他期間にも適用すれば，もっと詳細な分析ができそうだが・・・長くなるので，それはまた別の機会にしよう。
＊
似たようなことを解析した方がおられたので，リンクを貼っておきます。
↑でも，本ページと似たような結論にたどり着いておられます。セッション数が極端に少ないLPまで含めると，べき乗近似というよりは指数近似の方に近づいています。
やはり，個人ブログで，それなりのアクセス数（>100 / 月）がある記事を，100以上維持するのは難しいのでしょうか。Fig. 4だと，アクセス数50以上の変曲点を，もう少し右の方までもっていくこと，これを達成するのが，個人ブログの難しいところだと考えられます。
まとめ
以上，ブログのアクセス解析に見る「べき乗分布」のお話でした。
個人ブログでも，数年続けていると，それなりにアクセスデータが溜まります。
今回のように，ごく簡単な解析でも，面白い事実が見つかるものなんですね。
またの機会に，もう少し詳しい解析もやってみようかと思っています。
（参考文献）
